Ньютон - Лейбницийн Теорем (2-р хэсэг)

f нь [a, b] дээр интегралтай бөгөөд, f=g' бол

Баталгаа

Жич: Дээрх теоремийн f функц нь [a, b] дээр тасралтгvй тохиолдолын батлагаа нь доорх батлагаанаас хамаагvй амар. (Энийг бас дасгал болгож vлдээнэ.) Бидний авч vзэж байгаа энэ теорем бол f функц нь [a, b] дээр интегралтай гэсэн ерөнхий тохиолдол нь байна. (Яагаад ерөнхий тохиолдол нь болохыг энэний дараагийн теорем хэлж өгнө.)

[a, b] завсарын дурын хуваалт P байг. 11-р теорем ёсоор [t_i-t_i-1] завсараас

тэнцэтгэлvvдийг хангах x_i олдоно. Хэрвээ

m_h = inf {f(x) : c x c+h}
M_h = sup {f(x) : c x c+h}

бол

байх нь ойлгомжтой байна. Эдгээрийг i=1,...,n - ийн хувьд бvгдийг нь нэмвэл

болж байна. Өөрөөр хэлбэл, L(f,P) g(b) - g(a) U(f,P) байна.

Нэг анхааруулга: Энэ бол интегралын тодорхойлолт БИШ шvv! Яагаад гэвэл f функц интегралтай мөртлөнгөөсөө өөр функцийн уламжлал биш байж болно. (Жишээ нь f(x) = {x=1 бол 1, х0 бол 0}.)

За одоо хэдэн жишээгээр яагаад энэ теорем vнэхээр хэрэгтэй, чухал болохыг vзvvлэе. Бид дээр x² функцийн интегралын олох гэж хичнээн зовлоо... Одоо харин g'(x)=x² функц олох хэрэгтэй. g(x)=x³/3+c хэлбэрийн функц болохыг хялбарханаар шалгаж болно. (c гэдэг нь зvгээр л ямар нэгэн тоо.) Хэдийгээр яг нарийн байхын тулд c - г бичих хэрэгтэй болов ч, практикт c - г орхиход муудаад байдаггvй. Харин одоо Ньютон - Лейбницийн Теорем (Н.Л.Т) ёсоор

байна. Ер нь, хэрвээ n-1 бол (бас одоохондоо бид дөнгөж n натурал тоо байх тохиолдолыг нь л мэдэж байгаа)

болохыг харж болно. g(x) функцийг олох vйлдлийг интегралчихал vйлдэл гэдэг ба энэ нь бидний дараагийн хичээлийн сэдэв болно.

Интеграл чухал уу? Чухал. Хариултаа бид ирэх хичээлvvддээ баттагасаар явна.

Бид бас нэг юмийг хэлэх ёстой. F(x) чинь бас л нэг функц юм чинь бид дээр vзэж байсан шигээ энэ функцэнд өөр функцийг оруулж давхар функцийг гаргаж авч чадна. Уламжлалын олдог 8-р теорем энд бас л хэрэгтэй болно. Хоёр жишээ дурдая:

Нэг юм тодруулахад дээр бид зөвхөн уламжлалуудыг л олж байна (8-р теоремийг ашиглаад), өөр юу ч хийгээгvй.

Одоо харин нэг теоремийг баталгаагvйгээр нь оруулая.

Теорем 27

[a, b] дээр тасралтvй f функц байлаа гэе. Тэгвэл f нь [a, b] дээр интегралтай.