Ангилал: Алгебр

Пифагорын Тоонууд

(Я.И.Перелман - ы Сонирхолтой Алгебр номоос авав.)

a² + b² = c²

тэнцэтгэлийг хангадаг тоо томшгvй олон a, b, c тоо оршин байна. Тэдгээрийг Пифагоорын тоонууд гэж нэрлэдэг. Пифагорын теорем ёсоор ийм тоонууд нь ямар нэг тэгш өнцөгт гурвалжины талуудын урт болж чадна.

Хэрэв a, b, c нь пифагорын гуравт бол pa, pb, pc нь бас пифагорын гуравт vvсгэх нь илт байна. Vvнд p нь натурал тоон vржигдхvvн. Vvний эсрэг, хэрэв пифагорын гуравт ерөнхий vржигдэхvvнтэй байвал тэдгээрийг энэ ерөнхий vржигдэхvvнд хураахад дахин пифагорын гуравт гарна. Ийм учраас эхлээд зөвхөн харилцан анхны пифагорын гуравтыг судлах хэрэгтэй (бусад нь эдгээрийг бvхэл тоон p vржигдэхvvнээр vржvvлэхэд гарна).

a, b, c гэсэн тийм гуравт дотор нэг катет нь заавал тэгш, нөгөө нь сондгой тоо байдаг гэдгийг vзvvлье. Эсрэгээс сэтгэх арга хэрэглэе. Хэрэв хоёр катет хоёул тэгш байвал a² + b², тэгэхлээр, гипотенуз ч тэгш тоо байх ёстой. Энэ гурван тэгш тоо 2 гэсэн ерөнхий vржигдэхvvнтэй байх тул a, b, c гурав харилцан анхны гэдэгт харшилж байна. Ийм учраас a, b гэсэн хоёр катеты ядаж нэг нь сондгой тоо байх ёстой.

Өөр нэг боломж vлдлээ: хоёр катет хоёул сондгой, гиптенуз тэгш байх. Ийм байх боломжгvй гэдгийг батлахад хялбархан. Vнэхээр, хэрвээ катетууд

2x + 1, 2y + 1

дvрстэй байвал тэдгээрийн квадратын нийлбэр

4x2 + 4x + 1 + 4y2 + 4y + 1 = 4(x2 + x + y2 + y) + 2

- той тэнцvv, өөрөөр хэлбэл, 4-т хуваахад 2-той тэнцvv vлдэгдэл өгдөг тоо гарна. Гэтэл тэгш тоо бvрийн квадрат 4-т vлдэгдэлгvй хуваагдах ёстой. Иймд хоёр сондгой тооны квадратын нийлбэр тэгш тооны квадрат болж чадахгvй. Өөрөөр өгvvлбэл, бидний авсан 3 тоо пифагорын тоо vvсгэхгvй.

Ийнхvv a, b катетын нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой, иймээс a² + b² сондгой, тэгэхлээр гипотенуз c ч сондгой байна.

Тодорхой болгохын тулд а катетыг сондгой, b катетыг тэгш гэж vзье.

a² = c² - b² = (c + b)(c - b)

байна. Баруун хэсэгт байгаа c + b, c - b vржигдэхvvнvvд харилцан анхны. Vнэхээр, хэрэв эдгээр тоо нэгээс ялгаатай ерөнхий анхны vржигдэхvvнтэй байвал

(c + b) + (c - b) = 2c

нийлбэр,

(c + b) - (c - b) = 2b

ялгавар,

(c + b) (c - b) = a²

vржвэр, өөрөөр хэлбэл, 2c, 2b, a² тоо ерөнхий vржигдхvvнтэй байх ёстой. а сондгой учраас ерөнхий vржигдэхvvн 2-оос ялгаатай байна. Энэ ерөнхий vржигдэхvvнийг а, b, c гурвуул агуулах ёстой болно. Энэ нь боломжгvй хэрэг. Ийнхvv vvссэн зөрчил нь c + b, c - b хоёр харилцан анхны гэдгийг баталж байна.

Хэрэв харилцан анхны хоёр тооны vржвэр тооны квадрат байвал vржигдэхvvн тус бvр квадрат байх ёстой, ө.х.:

Энэ системийг бодвол

дvрстэй байна. Vvнд m, n нь харилцан анхны сондгой тоо болно. Vvний эсрэг m, n хоёр ямар ч сондгой тоо байхад дээрх томъёо a, b, c гэсэн гурван пифагорын тоо өгч чадна гэдгийг уншигчид хялбархан шалгаж болно. Хэдэн пифагорын тоо дурдвал:

m=3, n=1 байхад 3² + 4² = 5²
m=5, n=1 байхад 5² + 12² = 13²
m=5, n=3 байхад 15² + 8² = 17²
m=7, n=3 байхад 21² + 20² = 29²
m=7, n=5 байхад 35² + 12² = 37² г.м.

Бусад бvх пифагорын тоонууд нэг бол ерөнхий vржигдэхvvнтэй, нэг бол иррационал тоонууд байна.

Пифагорын тоонууд нэлээд олон гайхалтай онцлогтой бөгөөд тэдгээрийг баталгаагvй дурдая:

1. Нэг катет нь гуравт хуваагдах тоо байна.
2. Нэг катет нь заавал дөрөвт хуваагдах тоо байна.
3. Пифагорын тоонуудын нэг нь тавд хуваагдах тоо байна.

Дээр дурдсан бvлэг пифагорын тоог ашиглаад эдгээр чанар vнэхээр байна гэдэгт уншигчид өөрсдөө vнэмшинэ.